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Quelques exemples de modèles dynamiques
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Modèles de cycles biogéochimiques[historique]

Le cycle biogéochimique d'un élément peut être décrit conceptuellement par des transferts (ou flux) de cet élément entre des réservoirs. Les modèles sans dimensions spatiales (0-D) et dépendant du temps sont couramment utilisés pour pour décrire les changements au cours du temps des propriétés géochimiques d’un système ou d’un ensemble de systèmes (océan, atmosphère . . .).

Dynamique d'un système simple à un seul réservoir[historique]

Considérons l’exemple d’un lac (Fig. 1) contenant une masse d’eau constante M, et dans lequel s’écoule une rivière dont le flux d’eau est Friv . On s’intéresse à la concentration dans le lac Ci d’un élément chimique i, apporté par la rivière avec la concentration Crivi , et qui peut soit resortir du lac par l’exutoire, dans lequel la concentration de l’élément est égale à celle du lac, soit être piégé par le flux de sédimentation Fsed .                                      

 

L’équation qui décrit la concentration de l’élément i dans le lac en fonction du temps t est une équation différentielle ordinaire (EDO) d’ordre 1 :

  M d C i d t = F riv C riv i F riv C i F sed C sed i

Cette équation peut être intégrée sur le temps, avec C0i la concentration du lac à t = 0 (on parle alors de problème aux conditions initiales, ou problème de Cauchy). Si Crivi et Csedsont constants (peu réaliste dans le cas de Csedi ), alors on a :

C i ( t ) = F riv C riv i F sed C sed i F riv F riv C riv i F sed C sed i F riv C 0 i e F riv M t


(Friv / M) représente le temps de réponse de l'élément i dans le réservoir de masse M. Dans ce cas simple, il est égal au temps de résidence
de i dans le lac, c’est à dire au temps moyen que passe une mole de i dans le réservoir.

Généralisation : dynamique d'un système à plusieurs réservoirs[historique]

Pour un système à n réservoirs et k espèces chimiques, l'évolution en fonction du temps des concentrations dans les différents réservoirs s'écrit ainsi:

d M i C i k d t = i = 1 , n i j F i j C i k + j = 1 , n j i F j i C j k

 Il s'agit donc de résoudre un systèmes d'équations différentielles ordinaires de n x k équations.

Une résolution algébrique n'est possible que dans le cas de systèmes simples et linéaires. Dans le cas général, il est souvent plus pratique de résourdre de manière numérique un tel système. Pour en savoir plus: TD modèles dynamiques - introduction.

Modèles proies – prédateurs[historique]

Un modèle proie – prédateur est également décrit par un système d'équation différentielle ordinaire, qui décrit l'évolution des abondances de proies (V) et de prédateurs (P). Un modèle simple est celui connu sous le nom de Lotka – Volterra, et s'écrit ainsi :

d V d t = β V α V P

et

d P d t = γ α · V · P δ P

avec β le taux de croissance des proies en l'absence de prédation, α le taux de prédation, δ le taux de mortalité des prédateurs, et γ un taux de conversion du nombre de proies consommées en nombre de prédateurs.

Un tel système d'équations différentielles ordinaires n'est pas linéaire, et sa résolution dans le cas général nécessite une intégration numérique. Le fichier suivant propose un modèle simple Proie – Prédateur de type Lotka – Voltera, réalisé à l'aide du logiciel Vensim (la version PLE est gratuite): test-proie-pred.mdl.zip .

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